1타강사 오답노트

수학 · 1학기중간고사

수학-도형의 방정식/닮음과 넓이 최적화

이등변삼각형 내부 직사각형 넓이의 합의 최댓값

정답 BR = 10 학생 답안 미확인

원본 문제 이미지

문제 이미지 1
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한눈에 보는 핵심

AB=BC=25, AC=30인 이등변삼각형 ABC에서 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 한다. P는 AB 위, Q는 AC 위의 점이고, P와 Q에서 BC와 AH에 내린 수선의 발을 각각 R,S와 T,U라 할 때 SH=6UH이다. 사각형 PRHS와 UHTQ의 넓이의 합이 최대일 때 BR의 길이를 구하는 문제이다.

왜 틀렸나?

이 문제 핵심은 좌표를 잡아 두 직사각형의 넓이를 한 변수로 나타낸 뒤, 조건 SH=6UH를 이용해 높이 관계를 정리하는 것이다. 보통 많이 틀리는 이유는 (1) AH 길이를 먼저 정확히 구하지 못하거나, (2) AB, AC 위 점의 가로길이를 닮음으로 표현하지 못하거나, (3) SH=6UH를 높이 자체 비로만 보고 넓이식 연결을 놓치는 데 있다. 학생 답안은 보이지 않아 실제 오답 원인은 추정이다.

핵심 포인트

  • 이등변삼각형에서 AH는 밑변 BC의 수직이등분선이므로 BH=HC=25/2가 아니라, 여기서 같은 변은 AB=BC=25이고 밑변은 AC=30이므로 밑변 AC가 아니라 꼭짓점 B가 등변의 꼭짓점인지 먼저 확인해야 한다.
  • 그림과 조건을 정확히 읽으면 AB=BC=25, AC=30이므로 꼭짓점 B가 등변의 꼭짓점이다. 따라서 A에서 BC에 내린 수선 AH는 '중선'이 아니다. 좌표 설정으로 처리하는 것이 안전하다.
  • 좌표를 B(0,0), C(25,0)로 두고 A를 구하면 AB=25, AC=30을 만족하는 A는 (7,24)이다. 따라서 H=(7,0), AH=24.
  • AB의 기울기는 24/7이므로 AB 위 점 P의 높이를 y라 하면 그 점의 x좌표는 x=7y/24. 따라서 BR=x=7y/24.
  • AC의 기울기는 -24/18=-4/3이므로 AC 위 점 Q의 높이를 z라 하면 x좌표는 25-3z/4. 따라서 HT=(25-3z/4)-7=18-3z/4.
  • SH=6UH 이므로 P의 높이 y와 Q의 높이 z에 대해 y=6z.
  • 넓이합 S = PRHS + UHTQ = (BR·SH)+(HT·UH) = (7y/24)·y + (18-3z/4)·z.
  • y=6z 대입 후 한 변수 함수로 만들면 S = 10.5z^2 + 18z -0.75z^2 = 9.75z^2 +18z처럼 보이기 쉬운데, 여기서 y의 범위와 직사각형 방향을 다시 점검해야 한다. 더 안전하게 y를 변수로 두면 z=y/6, S=(7/24)y^2 + (18-y/8)(y/6)=3y.
  • 즉 넓이합은 3y로 단순화되고, y는 AB와 AC 내부 조건상 최대 24까지 가능하지만 직사각형이 삼각형 내부에 놓이려면 P, Q가 꼭짓점이 아닌 선분 위 점이어야 한다. 최댓값은 y가 최대일 때 접근한다.
  • y=24이면 P=A가 되어 선분 AB 위의 한 점 조건을 끝점 포함으로 보면 가능하고, 이때 BR=7. 만약 내부점만 허용하면 극댓값은 존재하지 않고 상한만 7에 접근한다. 그런데 보기 없는 단답형이고 통상 끝점 포함 해석이면 이 값이 나온다.
  • 다만 그림상 문제 의도는 두 넓이의 합을 이차식으로 만들어 최대를 구하는 형태일 가능성이 있으므로 원문 일부가 잘렸는지 반드시 확인이 필요하다.

✨ 1타 강사의 반짝 암기법

조건 읽기 실수 금지: AB=BC면 등변의 꼭짓점은 B다.

시험장 핵심 포인트

이 문제는 '이등변'만 믿고 중선을 자동 적용하면 바로 틀린다. 먼저 어느 변이 같은지 확인하고, 애매하면 좌표로 밀어붙여라.

시험장에서는 ① 같은 변 두 개를 먼저 체크해 꼭짓점 위치를 확정하고 ② 좌표를 잡아 높이와 가로길이를 식으로 만든다. ③ 수선의 발이 나오면 직사각형 넓이로 연결한다. ④ 비 조건 SH=6UH는 높이비로 바로 대입한다. 단, 현재 이미지상 문제 일부 해석 여지가 있어 최종 정답은 원문 확인이 필요하다.

다음 시험 대비 유사 문제

좌표평면에서 삼각형 ABC의 꼭짓점이 A(6,24), B(0,0), C(24,0)이다. P는 AB 위의 점, Q는 AC 위의 점이고 P, Q의 y좌표를 각각 y, y/2라 하자. P와 Q에서 x축에 내린 수선으로 만들어지는 두 직사각형의 넓이 합이 최대일 때, P의 x좌표를 구하여라.

  1. ① 2
  2. ② 3
  3. ③ 4
  4. ④ 5
  5. ⑤ 6
정답과 해설 보기
정답: ⑤ 6

AB 위 점 P의 x좌표는 x=y/4, AC 위 점 Q의 x좌표는 24-y/4. 두 직사각형 넓이합을 y로 나타내 최대를 구하면 끝점에서 최대가 되어 y=24, 따라서 x=6이다.

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